Teoria de escalas bien formadas

Teoria de escalas bien formadas

Escalas cromáticas: teoría musical

En la teoría de conjuntos diatónicos, una colección generada es una colección o escala formada por la adición repetida de un intervalo constante en notación entera, el generador, también conocido como ciclo de intervalo, alrededor del círculo cromático hasta que se forma una colección o escala completa. Todas las escalas con la propiedad de escala profunda pueden ser generadas por cualquier intervalo coprimo con (en el temperamento igual de doce tonos) doce. (Johnson, 2003, p. 83)
La colección diatónica de C mayor puede generarse añadiendo un ciclo de quintas perfectas (C7) que comienza en F: F-C-G-D-A-E-B = C-D-E-F-G-A-B. Utilizando la notación entera y el módulo 12: 5 + 7 = 0, 0 + 7 = 7, 7 + 7 = 2, 2 + 7 = 9, 9 + 7 = 4, 4 + 7 = 11.
Una colección generada para la que un único intervalo genérico corresponde al único generador o ciclo de intervalo utilizado es una colección generada MOS (por «momento de simetría»[1]) o bien formada. Por ejemplo, la colección diatónica está bien formada, ya que la quinta perfecta (el intervalo genérico 4) corresponde al generador 7. Aunque no todas las quintas de la colección diatónica son perfectas (Si-F es una quinta disminuida, un tritono o un 6), una colección generada bien formada sólo tiene un intervalo específico entre los miembros de la escala (en este caso el 6), que corresponde al intervalo genérico (4, una quinta) pero no al generador (7). Las escalas pentatónicas mayores y menores también están bien formadas. (Johnson, 2003, p. 83)

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AbstractThe short paper below presents the definition of the pairwise well-formed scale concept, and a few of the significant mathematical and musical features entailed by that definition. Las verificaciones que son fácilmente disponibles se suministran aquí; para las pruebas más difíciles que se omiten aquí, se dirige al lector a mi disertación (Clampitt 1997). Aunque la definición en sí es bastante abstracta, el conjunto de implicaciones y equivalencias que constituyen la teoría incluye varias propiedades musicalmente atractivas. Con la significativa excepción de una subcategoría estructural, todas las demás escalas bien formadas por pares participan en ciclos de modulación que generalizan los ciclos máximamente suaves definidos en Cohn 1996 y se cruzan con las funciones de Cohn definidas en Lewin 1996.Palabras claveRelación de frecuencias Clase de palabras Intervalo de pasos Teoría musical Escala musical

Teoría musical para principiantes – aprende todas las escalas mayores y menores

Resumen: Esta disertación examina las relaciones entre las matemáticas de la distribución módulo 1 y la teoría de las escalas bien formadas. La distribución módulo 1 se refiere a la distribución de los números reales entre 0 y 1. En particular, se han estudiado conjuntos finitos de números reales con respecto a la Conjetura de Steinhaus, demostrada por Sós y otros. Las escalas bien formadas, introducidas por primera vez en Carey y Clampitt 1989, se generan mediante iteraciones de un intervalo musical dado, módulo de la octava, el intervalo musical estándar de periodicidad.
Un estudio introductorio de diez teóricos de la escala proporciona un contexto en el que entender las propiedades de la escala bien formada. Una escala está bien formada si cada intervalo genérico tiene dos tamaños específicos, o si está formada por intervalos de pasos iguales. La estructura de la escala bien formada es una función de la fracción continua que representa la relación logarítmica del generador («quinta») y el intervalo de periodicidad («octava»). La escala diatónica en afinación pitagórica sirve de prototipo: el generador es la quinta sobretono (3:2) y el intervalo de periodicidad es la octava (2:1). La diatónica es un miembro de una jerarquía infinita de escalas bien formadas, generadas recursivamente por la fracción continua de Log 2 (3/2). Esta jerarquía incluye también las colecciones pentatónica y cromática. En general, la escala bien formada pertenece a una jerarquía determinada por la fracción continuada de, Log I (G), donde I es la relación de frecuencia del intervalo de periodicidad y G es la relación de frecuencia del generador. Se presentan cinco teoremas que caracterizan las escalas bien formadas, sus jerarquías y los patrones de intervalos de paso que presentan. Los propios patrones de pasos constituyen la base de un sistema secundario de clasificación de escalas bien formadas. Las condiciones de «coherencia» de las escalas bien formadas están completamente caracterizadas. También se discuten las aplicaciones y extensiones de la teoría, incluyendo la teoría de la afinación, el análisis rítmico y la composición.

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En la teoría de las escalas (musicales) un conjunto (escala) máximamente par es aquel en el que cada intervalo genérico tiene uno o dos enteros consecutivos de tamaños de intervalo específicos -en otras palabras, una escala cuyas notas (pcs) están «repartidas lo más posible». Esta propiedad fue descrita por primera vez por John Clough y Jack Douthett[1]. Clough y Douthett también introdujeron el algoritmo de máxima igualdad. Para una cardinalidad cromática c, un conjunto de piezas D de cardinalidad d es maximalmente enen si y sólo si existe un número entero m, 0 ≤ m ≤ c – 1 tal que
donde k va de 0 a d – 1. Se puede encontrar una excelente discusión sobre estos conceptos en el libro de Timothy Johnson sobre los fundamentos matemáticos de la teoría de las escalas diatónicas.[2] Jack Douthett y Richard Krantz introdujeron los conjuntos máximamente pares en la literatura matemática.[3][4] Douthett y Krantz comparan conjuntos de igual cardinalidad y miden su «paridad» con una función de ponderación convexa (cóncava) llamada interacción. Llaman a los conjuntos con el menor (mayor, resp.) peso máximamente par. Luego demuestran que estos conjuntos son precisamente los definidos por Clough y Douthett como máximamente pares.